8. Sınıf Matematik Prizma, Piramit, Koni ve Kürenin Hacmi Konu Anlatımı

Prizma, Piramit, Koni ve Kürenin Hacmi

Geometrik Cisimlerin Hacimleri

Evrendeki tüm nesneler bir yer kaplar mı? Dünya’nın hacmi var mıdır, hiç düşündünüz mü? Dünya’nın hacmi yaklaşık olarak 1.803.207,000 km3 tür.

Peki sıvıların hacmi var mıdır? Sıvıların hacmi, içindeki bulunduğu bölgenin hacmidir.

Bir havuzun alabileceği suyun hacminin hesaplanabilmesi için en, boy ve derinlik uzunluklarının bilinmesi gereklidir.

Ancak havuz gibi 3 boyutlu cisimlerin hacmi hesaplanabilir. Kare prizma, silindir gibi geometrik cisimlerin hacimleri boyutları kullanılarak hesaplanır.

Dik Prizmaların Hacimleri

Yukarıdaki dikdörtgenler prizması eş birim küplerden oluşmuştur. Bu prizmanın hacmini bulmak için birim küpler sayılır. Sayma sonucunda dikdörtgenler prizmasının hacmi 60 br3 olarak bulunur. Verilen prizmanın hacmini bulmak için birim küpleri saymak yerine kısa bir yol var mıdır?

Prizmanın taban alanını bulup yükseklikle çarparsanız yine aynı sonucu elde edersiniz.

Taban ayrıtları 5 br, 3 br ve yüksekliği 4 br olan dikdörtgenler prizmasının taban alanı

T_a = 3 br . 5 br = 15 br2 dir.

Dikdörtgenler prizmasının hacmi ise,

V = 15 br2 . 4 br = 60 br3 bulunur.

Dik prizmaların hacimlerinin hesaplanmasında dikdörtgenler prizmasının hacminden yararlanılır.

Genel olarak dik prizmaların hacmi V = T_a . h bağıntısı ile bulunur.

Örnek : Taban alanı 48 cm2 ve yüksekliği 12 cm olan dik prizmanın hacmi kaç santimetre küptür?

V = T_a . h

V = 48 . 12

V = 576 cm2

Örnek : Hacmi 144 m3 olan dik prizma şeklindeki havuzun yüksekliği 3 m dir. Bu havuzun taban alanı kaç metre karedir?

V = T_a . h

144 = T_a . 3

T_a = 48 m2

Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi

Yukarıdaki havuz dikdörtgenler prizması şeklindedir. Bu havuzun hacminin bulunması için hangi uzunluklarının bilinmesi gereklidir?

Dik prizmaların hacmi T_a. h olduğundan havuzun en, boy ve derinlik uzunluklarının bilinmesi gereklidir.

Ayrıt uzunlukları a, b ve ce olan dikdörtgenler prizmasının hacmi :

V = T_a. c’dir

V = a.b.c

Kare Dik Prizmanın Hacmi

Yukarıdaki bidon kare dik prizma şeklindedir. Bu bidonun hacminin bulunması için tabanındaki karesel bölgenin alanına ve yüksekliğine ihtiyaç vardır.

Taban ayrıt uzunluğu a ve yüksekliği h olan kare dik prizmanın hacmi : V = T_a . h ‘dir.

V = a² . h

Örnek : Taban ayrıt uzunluğu 15 cm, yüksekliği 25 cm olan kare dik prizma şeklindeki abajurun hacmi kaç santimetre küptür?

T _a = a²

T _a = 15²

T _a = 225 cm²

V = T _a . h

V = 225 . 25

V = 5625 cm²

Üçgen Dik Prizmanın Hacmi

Üçgen dik prizmanın hacminin bulunması için tabanındaki üçgensel bölgenin alanına ve prizmanın yüksekliğine ihtiyaç vardır.

Tabanındaki üçgensel bölgenin bir kenar uzunluğu a ve bu kenara ait yüksekliği h _a prizma yüksekliği h olan üçgen dik prizmanın hacmi

V = T _a . h’dir.

Dik Silindirin Hacmi

Bir prizmanın tabanındaki düzgün çokgenin kenar sayısı çok artırıldığında tabanı daireye yaklaşır.

Dik silindir, tabanı daire olan dik prizma olduğundan hacmi V = T _a. H bağıntısı ile bulunur.

Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan dik silindirin hacmi :

V = π .r² . h

Dik Piramitlerin Hacmi

Aynı taban ve yükseklikte dik prizma şeklinde kap ile dik piramit şeklinde kap düşünün. Prizma şeklindeki kabın hacmi piramit şeklindeki kabın hacminin kaç katıdır.

Piramit modelini su ile doldurup prizma modeline boşaltın. Prizma modeli doluncaya kadar bu işlemi tekrarlayın. Sonra aynı işlemi tersten yapın. Prizma modelindeki suyu piramit modeline boşaltın. Prizma modelindeki su bitene kadar bu işlemi tekrarlayın.
Yaptığınız işlemler sonrasında eş taban ve eş yüksekliğe sahip prizmanın hacminin, piramidin hacminin 3 katı olduğunu bulursunuz.

Dik prizmaların hacmi

V = T _a . h olduğundan dik piramitlerin hacmi :

 bağıntısı ile bulunur.

Dik Dairesel Koninin Hacmi

Aynı taban ve yükseklikte dik dairesel koni şeklinde vazo ile dik silindir şeklinde vazo düşünün. Dik silindir şeklindeki vazonun hacmi dik dairesel koni şeklindeki vazonun hacminin kaç katıdır?

Dik dairesel koni modelini su ile doldurup dik silindir modeline boşaltın. Dik silindir modeli doluncaya kadar bu işlemi tekrarlayın.
Sonra aynı işlemi tersten yapın. Dik silindir modelindeki suyu dik dairesel koni modeline boşaltın. Dik silindir modelindeki su bitene kadar bu işlemi tekrarlayın.
Yaptığınız işlemler sonrasında eş taban ve eş yüksekliğe sahip dik silindirin hacminin, dik dairesel koninin hacminin 3 katı olduğunu bulursunuz.
R yarıçaplı ve yüksekliği h olan dik silindirin hacmi :

V = T _a . h = π . r² . h olduğundan r yarıçaplı ve yüksekliği h olan dik dairesel koninin hacmi :

 bağıntısı ile bulunur.

Kürenin Hacmi

Taban yarıçapı r, yüksekliği 2r olan dik silindir şeklindeki kabı tamamen su ile doldurun. Bu kabın içine r yarıçaplı küre şeklinde bilyeyi tam batıncaya kadar bastırın. Taşan suyu başka bir kaba alın.
Bilyeyi serbest bırakın ve dik silindir şeklindeki kapta kalan su seviyesini işaretleyin. Taşan suyun hacmi bilyenin hacmine eşittir.
Elde edilen sonuçlar sonrasında kürenin hacminin, dik silindirin hacminin 2/3’üne eşit olduğunu bulursunuz.
r yarıçaplı ve yüksekliği 2r olan dik silindirin hacmi :

V = π . r² . 2r

r yarıçaplı kürenin hacmi :

Koninin hacminin 3 katı olduğunu bulursunuz.

r yarıçapı ve yüksekliği h olan dik silindirin hacmi :

V = T _a . h = π . r² . h olduğundan r yarıçaplı ve yüksekliği h olan dik dairesel koninin hacmi :

 bağıntısı ile bulunur.