8. Sınıf Matematik Çok Küplü Yapılar, Çok Yüzlüler ve Simetri Konu Anlatımı

Çok Küplü Yapılar, Çok Yüzlüler ve Simetri

Çok Küplüler

İzometrik kağıt, çok küplü modelleri kullanılarak geometrik yapıların çizilebildiği bir geometri materyaldir.

Yukarıda L, D, V ve Z çok küplü modelleri vardır. Bu modellerle farklı geometrik yapılar oluşturulabilir :

L, D, V ve Z çok küplü modellerinin yanında 1, 2, 3 modelleri de vardır.

Çok Yüzlüler

Geometrik cisimlerde de platoniklik olur mu? Demeyin:
“Platonik Cisimler” olarak bilinen düzgün çok yüzlüler adını ünlü filozof matematikçi Platon’dan almıştır.
Eflatun’un öğrencisi olan Platon, matematiğin gelişmesinde rehberlik etmiş, dönemindeki matematiksel çalışmaların çoğunun merkezinde yer almıştır. Ayrıca Platon’un eğitim verdiği okulun kapısına “Geometri bilmeyen giremez.” Yazdırması geometriye ne kadar önem verdiğinin ispatıdır.
Platon “Timaeus” adlı eserinde düzgün katı cisimlerle ilgili düşüncesini açıklamıştır. Platon’a göre 5 geometrik cisim şunlardır :
1. Düzgün dört yüzlü
2. Düzgün altı yüzlü
3. Düzgün sekiz yüzlü
4. Düzgün on iki yüzlü
5. Düzgün yirmi yüzlü
Platonik cisimlerden düzgün dört yüzlü olarak bilinen katı cisim piramit, düzgün altı yüzlü olarak bilinen katı cisim ise küptür.
Platonik cisimlerin özelliklerini öğrenmek için aşağıdaki tablolardan yararlanılabilir.

Platonik Cisimlerin Yüzeyleri : Düzgün dört yüzlü, 4 eşkenar üçgenden, düzgün sekiz yüzlü, 8 eşkenar üçgenden; küp, 6 eş kareden; düzgün on iki yüzlü, 12 beşgenden; düzgün yirmi yüzlü, 20 eşkenar üçgenden oluşur.

Örnek: 

Şekildeki düzgün sekiz yüzlünün yüksekliği, bir düzgün dört yüzlünün bir kenar uzunluğuna eşittir. |AB| = 12 cm olduğuna göre düzgün dört yüzlünün yüksekliği kaç santimetredir?

Düzgün sekiz yüzlünün yüksekliği

Dört yüzlünün bir kenar uzunluğudur. Düzgün dört yüzlünün yüksekliği,

Simetri

Çevremizdeki nesnelerin her biri simetrik midir? Simetri bütün geometrik şekiller için geçerli midir? Uzayda simetriden söz edilebilir mi?
Geometrik cisimler için simetri, belli bir eksen etrafındaki dönme hareketidir.
• Küp, kendi ekseni etrafında 90° lik dönmelerinde konum değiştirmez.
• Küp ve dikdörtgenler prizması karşılıklı yüzlerin paralel olan kenarının orta dikmelerinden ve paralel olan yüzey köşegenlerinden geçen düzlemlere göre simetriktir.
• Eşkenar üçgen prizma, taban merkezinden geçen eksen etrafında 120° lik dönmelerinde değişmez.
• Küre, çaplarından her biri etrafındaki dönmelerinde sabit kalır. Çaplarından geçen her düzleme göre simetriktir.

8. Sınıf Matematik Perspektif Çizimi ve Ara Kesitler Konu Anlatımı

Perspektif Çizimi

Perspektifte, cisimler bizden uzaklaştıkça küçülmüş ve solmuş gibi görünür.

Zeminin bittiği yerde, gökyüzüyle birleşen çizgiye “ufuk çizgisi” denir.

Gözümüzden uzaklaştıkça birleşiyormuş gibi görünen çizgilere “kaybolunan doğrular”, kaybolunan doğruların birleşiyormuş gibi göründüğü noktaya da “kaybolunan nokta” denir. Gökyüzüyle birleşen çizgiye “ufuk çizgisi” denir.

Bir Nokta Perspektifi

Ön yüzü ve üst yüzü görünen cisimlerin perspektifini çizme

Perspektif çizimi yapılacak cismi ön yüzü ile üst tabanı görünecek şekilde yerleştirelim.

Kutunun ön yüzü için kağıt düzlemine bir dikdörtgen çizelim.

Dikdörtgenin üst tarafına dikdörtgene paralel olacak şekilde bir doğru çizelim.

Dikdörtgenin tabanının orta noktası hizasında olacak şekilde, doğru üzerinde bir nokta belirleyelim.

Belirlediğimiz noktaya dikdörtgenin dört köşesinden noktalı doğru parçaları çizelim.

Noktalı doğru parçaları arasında kalacak ve yatay doğruya paralel olacak şekilde doğru parçası çizip kutunun üst ayrıtlarını oluşturalım.

Arkada saklı duran diğer dikey ve yatay doğru parçalarını noktalı olarak çizelim.

Ön Yüzü, Alt Yüzü ve Sol Yüzü Görünen Cisimlerin Perspektifini Çizme

Perspektif çizimi yapılacak cismi ön yüzü, alt tabanı ve sol yüzü görünecek şekilde yerleştirelim.

Kutunun ön yüzü için kağıt düzlemine bir dikdörtgen çizelim.

Dikdörtgenin alt tarafına dikdörtgene paralel olacak şekilde bir doğru çizelim.

Dikdörtgenin sol tarafından olacak şekilde, doğru üzerinde bir nokta belirleyelim.

Belirlediğimiz noktaya dikdörtgenin dört köşesinden noktalı doğru parçaları çizelim.

Noktalı doğru parçaları arasında kalacak ve yatay doğruya paralel olacak şekilde doğru parçası çizip kutunun alt ayrıtlarını oluşturalım.

Arkada saklı duran diğer dikey ve yatay doğru parçalarını noktalı olarak çizelim.

Fazlalıkları silerek çizimi tamamlayalım.

Ön Yüzü, Üst Yüzü ve Sağ Yüzü Görünen Cisimlerin Perspektifini Çizme

Perspektif çizimi yapılacak cismi ön yüzü, üst tabanı ve sağ yüzü görünecek şekilde yerleştirelim.

Perspektif çizimi yapılacak cismi ön yüzü, üst tabanı ve sağ yüzü görünecek şekilde yerleştirelim.

Dikdörtgenin üst tarafına dikdörtgene paralel olacak şekilde bir doğru çizelim.

Dikdörtgenin sağ tarafında olacak şekilde, doğru üzerinde bir nokta belirleyelim.

Belirlediğimiz noktaya dikdörtgenin dört köşesinden noktalı doğru parçaları çizelim.

Noktalı doğru parçaları arasında kalacak ve yatay doğruya paralel olacak şekilde doğru parçası çizip kutunun üst ayrıtlarını oluşturalım.

Arkada saklı duran diğer dikey ve yatay doğru parçalarını noktalı olarak çizelim.

Fazlalıkları silerek çizimi tamamlayalım.

Not : Prizma modelinin ön yüzü, resmin (çizimin) düzlemine paralel olarak yapılıyorsa bu perspektif çizim tipine “bir nokta perspektifi” denir.

Kaybolunan nokta, prizmaya sağdan bakıldığında ufuk çizgisi üzerinde ve prizmanın sağında; soldan bakıldığında ise solundadır. Bu durum prizmaya alttan ve üstten bakıldığında değişmez.

İki Nokta Perpektifi

Üst Yüzü ve Yan Yüzleri Görünen Cisimlerin Perspektifini Çizme

Perspektif çizimi yapılacak cismi aynı köşeden kesişen üç yüzünden üst yüzü ile sağ ve sol yanı görünecek şekilde yerleştirelim.

Kutunun kağıt düzlemine paralel olmayan ön yüzündeki ayrıt için dikey bir doğru parçası çizelim.

Dikey doğru parçasının üst tarafına yatay bir doğru çizelim.

Doğrunun sağ ve sol tarafında birer nokta belirleyelim.

Dikey doğru parçasının uçlarını noktalı doğrularla doğru üzerindeki noktalarla birleştirelim.

Cismin uzunluğu ve genişliği için noktalı doğrular arasına dikey doğrular çizelim.

Cismin arkasında kalan görünmeyen ayrıtlarını çizeceğimiz doğruları çizelim.

Üst tabanı ve görünmeyen yüzleri oluşturalım.

Fazlalıkları silerek çizimi tamamlayalım.

Alt Yüzü ve Yan Yüzleri Görünen Cisimlerin Perspektifini Çizme

Perspektif çizimi yapılacak cismi aynı köşeden kesişen üç yüzünden alt yüzü ile sağ ve sol yanı görünecek şekilde yerleştirelim.

Kutunun kağıt düzlemine paralel olmayan ön yüzündeki ayrıt için dikey bir doğru parçası çizelim.

Dikey doğru parçasının alt tarafına yatay bir doğru çizelim.

Doğrunun sağ ve sol tarafında birer nokta belirleyelim.

Dikey doğru parçasının uçlarını noktalı doğrularla doğru üzerindeki noktalarla birleştirelim.

Çok Yüzlüler ve Ara Kesitler

Aşağıdaki şekillerde değişik çok yüzlüler görülmektedir.

Elmas ve pırlantalarda çok yüzlülere örnek olarak verilebilir. Elmas ve pırlanta aynı taşın farklı kesim şekilleridir. Elmasın alt kısmı düz, yüz sayısı ise 12 ile 37 arasında değişmektedir. Daha ince işçiliğe sahip pırlantanın alt kısmı kubbe gibi, yüz sayısı ise genellikle 57’dir.

Kesik Cisimler

Küpün Bir Düzlemle Kesişim

Şekildeki küp tabanına dik bir düzlemle kesilirse oluşan kesit alanı bir karedir.

Şekildeki küp A, B, C noktalarından geçen bir düzlemle kesilirse oluşan kesit alanı bir eşkenar üçgendir.

Şekildeki küp A, B, C, D, E noktalarından geçen bir düzlemle kesilirse oluşan kesit alanı bir beşgendir.

|AD| = |DC| = |DB| olduğunda şekildeki küp A, B, C noktalarından geçen bir düzlemle kesilirse oluşan kesit alanı bir eşkenar üçgendir.

Şekildeki küp A, B, C, D, E, F noktalarından geçen bir düzlemle kesilirse oluşan kesit alanı bir altıgendir.

Şekildeki küp A, B, C noktalarından geçen bir düzlemle kesilirse oluşan kesit alanı bir çeşitkenar üçgendir.

8. Sınıf Matematik Prizma, Piramit, Koni ve Kürenin Hacmi Konu Anlatımı

Prizma, Piramit, Koni ve Kürenin Hacmi

Geometrik Cisimlerin Hacimleri

Evrendeki tüm nesneler bir yer kaplar mı? Dünya’nın hacmi var mıdır, hiç düşündünüz mü? Dünya’nın hacmi yaklaşık olarak 1.803.207,000 km3 tür.

Peki sıvıların hacmi var mıdır? Sıvıların hacmi, içindeki bulunduğu bölgenin hacmidir.

Bir havuzun alabileceği suyun hacminin hesaplanabilmesi için en, boy ve derinlik uzunluklarının bilinmesi gereklidir.

Ancak havuz gibi 3 boyutlu cisimlerin hacmi hesaplanabilir. Kare prizma, silindir gibi geometrik cisimlerin hacimleri boyutları kullanılarak hesaplanır.

Dik Prizmaların Hacimleri

Yukarıdaki dikdörtgenler prizması eş birim küplerden oluşmuştur. Bu prizmanın hacmini bulmak için birim küpler sayılır. Sayma sonucunda dikdörtgenler prizmasının hacmi 60 br3 olarak bulunur. Verilen prizmanın hacmini bulmak için birim küpleri saymak yerine kısa bir yol var mıdır?

Prizmanın taban alanını bulup yükseklikle çarparsanız yine aynı sonucu elde edersiniz.

Taban ayrıtları 5 br, 3 br ve yüksekliği 4 br olan dikdörtgenler prizmasının taban alanı

T_a = 3 br . 5 br = 15 br2 dir.

Dikdörtgenler prizmasının hacmi ise,

V = 15 br2 . 4 br = 60 br3 bulunur.

Dik prizmaların hacimlerinin hesaplanmasında dikdörtgenler prizmasının hacminden yararlanılır.

Genel olarak dik prizmaların hacmi V = T_a . h bağıntısı ile bulunur.

Örnek : Taban alanı 48 cm2 ve yüksekliği 12 cm olan dik prizmanın hacmi kaç santimetre küptür?

V = T_a . h

V = 48 . 12

V = 576 cm2

Örnek : Hacmi 144 m3 olan dik prizma şeklindeki havuzun yüksekliği 3 m dir. Bu havuzun taban alanı kaç metre karedir?

V = T_a . h

144 = T_a . 3

T_a = 48 m2

Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi

Yukarıdaki havuz dikdörtgenler prizması şeklindedir. Bu havuzun hacminin bulunması için hangi uzunluklarının bilinmesi gereklidir?

Dik prizmaların hacmi T_a. h olduğundan havuzun en, boy ve derinlik uzunluklarının bilinmesi gereklidir.

Ayrıt uzunlukları a, b ve ce olan dikdörtgenler prizmasının hacmi :

V = T_a. c’dir

V = a.b.c

Kare Dik Prizmanın Hacmi

Yukarıdaki bidon kare dik prizma şeklindedir. Bu bidonun hacminin bulunması için tabanındaki karesel bölgenin alanına ve yüksekliğine ihtiyaç vardır.

Taban ayrıt uzunluğu a ve yüksekliği h olan kare dik prizmanın hacmi : V = T_a . h ‘dir.

V = a² . h

Örnek : Taban ayrıt uzunluğu 15 cm, yüksekliği 25 cm olan kare dik prizma şeklindeki abajurun hacmi kaç santimetre küptür?

T _a = a²

T _a = 15²

T _a = 225 cm²

V = T _a . h

V = 225 . 25

V = 5625 cm²

Üçgen Dik Prizmanın Hacmi

Üçgen dik prizmanın hacminin bulunması için tabanındaki üçgensel bölgenin alanına ve prizmanın yüksekliğine ihtiyaç vardır.

Tabanındaki üçgensel bölgenin bir kenar uzunluğu a ve bu kenara ait yüksekliği h _a prizma yüksekliği h olan üçgen dik prizmanın hacmi

V = T _a . h’dir.

Dik Silindirin Hacmi

Bir prizmanın tabanındaki düzgün çokgenin kenar sayısı çok artırıldığında tabanı daireye yaklaşır.

Dik silindir, tabanı daire olan dik prizma olduğundan hacmi V = T _a. H bağıntısı ile bulunur.

Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan dik silindirin hacmi :

V = π .r² . h

Dik Piramitlerin Hacmi

Aynı taban ve yükseklikte dik prizma şeklinde kap ile dik piramit şeklinde kap düşünün. Prizma şeklindeki kabın hacmi piramit şeklindeki kabın hacminin kaç katıdır.

Piramit modelini su ile doldurup prizma modeline boşaltın. Prizma modeli doluncaya kadar bu işlemi tekrarlayın. Sonra aynı işlemi tersten yapın. Prizma modelindeki suyu piramit modeline boşaltın. Prizma modelindeki su bitene kadar bu işlemi tekrarlayın.
Yaptığınız işlemler sonrasında eş taban ve eş yüksekliğe sahip prizmanın hacminin, piramidin hacminin 3 katı olduğunu bulursunuz.

Dik prizmaların hacmi

V = T _a . h olduğundan dik piramitlerin hacmi :

 bağıntısı ile bulunur.

Dik Dairesel Koninin Hacmi

Aynı taban ve yükseklikte dik dairesel koni şeklinde vazo ile dik silindir şeklinde vazo düşünün. Dik silindir şeklindeki vazonun hacmi dik dairesel koni şeklindeki vazonun hacminin kaç katıdır?

Dik dairesel koni modelini su ile doldurup dik silindir modeline boşaltın. Dik silindir modeli doluncaya kadar bu işlemi tekrarlayın.
Sonra aynı işlemi tersten yapın. Dik silindir modelindeki suyu dik dairesel koni modeline boşaltın. Dik silindir modelindeki su bitene kadar bu işlemi tekrarlayın.
Yaptığınız işlemler sonrasında eş taban ve eş yüksekliğe sahip dik silindirin hacminin, dik dairesel koninin hacminin 3 katı olduğunu bulursunuz.
R yarıçaplı ve yüksekliği h olan dik silindirin hacmi :

V = T _a . h = π . r² . h olduğundan r yarıçaplı ve yüksekliği h olan dik dairesel koninin hacmi :

 bağıntısı ile bulunur.

Kürenin Hacmi

Taban yarıçapı r, yüksekliği 2r olan dik silindir şeklindeki kabı tamamen su ile doldurun. Bu kabın içine r yarıçaplı küre şeklinde bilyeyi tam batıncaya kadar bastırın. Taşan suyu başka bir kaba alın.
Bilyeyi serbest bırakın ve dik silindir şeklindeki kapta kalan su seviyesini işaretleyin. Taşan suyun hacmi bilyenin hacmine eşittir.
Elde edilen sonuçlar sonrasında kürenin hacminin, dik silindirin hacminin 2/3’üne eşit olduğunu bulursunuz.
r yarıçaplı ve yüksekliği 2r olan dik silindirin hacmi :

V = π . r² . 2r

r yarıçaplı kürenin hacmi :

Koninin hacminin 3 katı olduğunu bulursunuz.

r yarıçapı ve yüksekliği h olan dik silindirin hacmi :

V = T _a . h = π . r² . h olduğundan r yarıçaplı ve yüksekliği h olan dik dairesel koninin hacmi :

 bağıntısı ile bulunur.