8. Sınıf Matematik Küreyi Tanıyalım Konu Anlatımı

Küreyi Tanıyalım

Futbol topu, yer küre, bilyeler … küre biçimindeki nesnelerdir.
Kürenin yüzeyindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası kürenin kirişleri, merkezden geçen kiriş kürenin çapıdır. Kürenin merkezinden geçen bir düzlemde kürenin ara kesitinden oluşan çember kürenin büyük çemberidir.

Kürenin büyük çemberinin yarıçapı, kürenin yarıçapına eşittir.
[KM] : kiriş
[AB] : çap
[OB] : büyük çemberin yarıçapı

Küre ile Düzlemin Ara Kesiti :

Küre yüzeyi ile bir düzlemin ara kesiti bir çemberdir.
Küre ile bir düzlemin ara kesiti bir dairedir.

 

Bir küre bir düzlemde kesildiğinde kesit dairenin yarıçapı r, kesit dairenin merkezden uzaklığı d, kürenin yarıçapı R olmak üzere

r² + d² = R² bağıntısı geçerlidir.

Örnek :

8. Sınıf Matematik Koniyi Tanıyalım Konu Anlatımı

Koniyi Tanıyalım

Dik Koni :

Partilerde, kutlamalarda kullandığınız ilginç şapkalar, yağ hunileri, kurşun kaleminizin sivriltilmiş ucu, dondurmanızın külahı hangi geometrik cisime benzer?

Koninin tepe noktasından taban düzlemine inilen dikme cisim yüksekliği, tepe noktasını taban çevresi üzerindeki bir noktaya birleştiren doğru parçası ana doğrusudur.

h : [OT] : cisim yüksekliği

a : [TC] : ana doğru

r : [OC] : yarıçap

Örnek : Yarıçapı 10 cm olan bir dik koninin merkez açısının ölçüsü 72° dir. Koninin ana doğrusu ve yüksekliği kaç santimetredir?

 

Dik Koni ve Kesik Koni Oluşturma

1. Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri etrafında 360° döndürülmesiyle bir dik koni oluşur.
2. Bir dik yamuğun yüksekliği etrafında 360° döndürülmesiyle bir kesik koni oluşur.

8. Sınıf Matematik Piramitleri Tanıyalım Konu Anlatımı

Piramitleri Tanıyalım

Piramitler ve Özellikleri

Piramitler ile prizmalar arasındaki benzerlik ve farklılıklar nelerdir?

Piramitler de prizmalar gibi tabanlarındaki çokgene göre adlandırılırlar: üçgen piramit, kare piramit …

Piramidin tabanındaki çokgenin köşelerinin birleştirildiği T noktası piramidin tepe noktası ya da tepesi, tepe noktasından taban düzlemine inilen dikme piramidin cisim yüksekliği, yanal yüzeyini oluşturan üçgenlerin yükseklikleri piramidin yanal yüzey yükseklikleridir.

Taban yüzey : ABCD

Yanal yüzeyleri : TBC, TAB, TDC, TAD

Yanal ayrıtları : [TB], [TD], [TA], [TC]

Taban ayrıtları : [AD], [DC], [AB], [BC]

Köşeleri : A, B, C, D

Yanal yüzey yüksekliği : [TF]

Bir piramitteki yanal yüzey sayısı, taban ayrıtı sayısına eşittir. Üçgen piramidin 3 taban ayrıtı, 3 yanal yüzeyi vardır.

Düzgün altıgen piramidin 6 taban ayrıtı, 6 yanal yüzeyi vardır.

Piramit :

Bir çokgensel bölgenin köşelerinin bir tepe noktasında birleştirilmesiyle oluşan kapalı geometrik cisimlerdir.

Düzgün Piramit :

Tabanı düzgün çokgen, yanal yüzeyleri eş ikizkenar üçgenler olan piramitlerdir.

Kesik Piramit :

Bir piramit tabanına paralel bir düzlemle kesildiğinde taban ile düzlem arasında kalan kısımdır.

Örnek : Taban çevresi 64 cm olan şekildeki kare piramidin yanal yüzey yüksekliği 10 cm’dir.
Buna göre piramidin cisim yüksekliği kaç santimetredir?

 

KLMN karesinin çevresi 64 cm olduğuna göre taban ayrıtı,

64 : 4 = 16 cm’dir.

|HR| = |KL| : 2 = 8 cm, yanal yüzey yüksekliği |TR| = 10 cm olduğuna göre THR dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kullanılır. Buna göre piramidin cisim yüksekliği

|TH|² + |HR|² = |TR|² eşitliğinde

|TH|² = 10² – 8²

= 100 – 64 = 36

|TH| = 6 cm bulunur.

 

8. Sınıf Matematik Prizmaları Tanıyalım Konu Anlatımı

Prizmaları Tanıyalım

Prizmalar ve Özellikleri

İçinde yaşadığımız binalar, evlerimizin odaları, sınıfımız, defterimiz, kullandığımız birçok eşya modeli farklı biçimlerdeki prizmalara örnek oluşturur.
Prizmalar dik veya eğik oluşlarının dışında tabanlarındaki çokgene göre adlandırılırlar : üçgen prizma, kare prizma …
Bir prizmanın taban düzlemi dışındaki yüzeyleri yanal yüzeyleri, yanal yüzeylerinin ara kesiti olan doğru parçaları yanal ayrıtları, prizmanın tabanlarını oluşturan doğru parçaları taban ayrıtların kesiştiği noktalar prizmanın köşeleri, taban düzlemleri arasındaki uzaklık yükseklikleridir.
Taban yüzeyler : ABC, DEF
Yanal yüzeyleri : DECA, FECB, ABFD
Yanal ayrıtları : [AD], [BF], [CE]
Taban ayrıtları : [AC], [AB], [BC]
Köşeleri : A, B, C, D, E, F

Dik Prizmalarda
• Yan yüzler dikdörtgendir.
• Alt ve üst tabanlar birbirine eştir.
• Prizmanın tabanlarından biri enine kesittir.
• Prizmalarda enine kesitler birbirine ve tabanlara eştir.
• Yanal ayrıtları, tabanlara diktir.
Eğik Prizmalarda
• Yan yüzler paralelkenardır.
• Bir eğik prizma yanal ayrıtlarına dik bir düzlemle kesilirse dik kesiti elde edilir.
• Dik kesit, yanal yüzeylerin yüksekliğidir.
• Eğik prizmada dik kesit tabanlara eş değildir.

 

Prizma : Paralel iki düzlemde birbirine eş iki çokgensel bölgenin eş kenarlarının karşılıklı doğru parçasıyla birleştirilmesiyle oluşan kapalı geometrik cisimlerdir.

Dik Prizma : Yan yüzleri tabanlara dik olan prizmalardır.

Eğik Prizma : Yan yüzleri tabanlara dik olmayan prizmalardır.

Eğik Prizmalarda Açı : bir eğik prizmada yanal ayrıt ile taban düzlemi arasında belirli bir açı vardır. Bu açı a ile gösterilirse,

Sina = yükseklik / yanal ayrıt oranı ile hesaplanır.

Dikdörtgenler Prizması

Dikdörtgenler prizmasının
• 6 yüzeyi vardır. Karşılıklı yüzeyleri birbirine eş dikdörtgendir.
• 12 ayrıtı vardır. Karşılıklı ayrıtları paraleldir ve uzunlukları eşittir.
• 8 köşesi vardır. Bir köşesinde birleşen ayrıtları; uzunluk, genişlik ve yüksekliktir.
Dikdörtgenler prizmasının bir köşesinde birleşen ayrıtlar a, b ve c olsun.
Dikdörtgenler prizmasının yüzey köşegenlerinden biri [DB], cisim köşegenlerinden biri [BD]’dır.
BDC üçgeninde Pisagor bağıntısı kullanılırsa 

 

Örnek : 

Şekildeki dikdörtgenler prizmasında boyalı bölgenin alanı 150 cm² ‘dir. |AB| = 24 cm olduğuna göre prizmanın ayrıt uzunlukları toplamı kaç santimetredir?

Çözüm : Boyalı bölge dikdörtgen olduğundan |AB’| = 150 : 6 = 25 cm’dir.

ABB’ üçgeninde Pisagor bağıntısı kullanılarak

|AB’| = |AB| + |BB| eşitliğinden |BB| = 7 cm bulunur.

Prizmanın ayrıtları a = 24 cm, b = 6 cm ve c = 7 cm’dir.

Ayrıt uzunlukları toplamı

4 . (a + b + c) = 4 . (24 + 6 + 7)

= 148 cm’dir.

 

Yüzey ve Cisim Köşegeni : Bir prizmanın yüzey köşegeni e, cisim köşegeni f veya k harfiyle gösterilir.

Bir prizmada yüzey köşegeni, cisim köşegeninden daha kısadır.

Bir dikdörtgenler prizmasının 12 yüzey köşegeni, 4 cisim köşegeni vardır.

Kare Prizma :

Kare prizmanın

• 6 yüzeyi vardır. Alt ve üst tabanları birbirine eş kare, yan yüzeyleri ise birbirine eş dikdörtgenlerdir.
• 12 ayrıtı, 8 köşesi vardır. Bir köşede birleşen üç ayrıt birbirine diktir.
Kare prizmanın bir köşesinde birleşen ayrıtlar a ve b olsun. Taban ayrıtının uzunluğu a olan kare prizmada yüzey köşegeni.

 

Üçgen Prizma

Üçgen prizmanın

5 yüzeyi vardır. Alt ve üst tabanları birbirine eş üçgen, yan yüzeyleri ise dikdörtgenlerdir.

9 ayrıtı, 6 köşesi vardır. Karşılıklı ayrıtları birbirine paralel ve uzunlukları eşittir. Yanal ayrıtları aynı zamanda üçgen prizmanın yüksekliğidir.

 

Üçgen prizmanın alt ve üst tabanlarındaki üçgenlerin köşegeni olmadığından bu yüzeylerde yüzey köşegeninden bahsedilemez.

Yanal yüzeylerdeki dikdörtgenlerde yüzey köşegeni hesabı yapılabilir.

 

Örnek :

 

Şekildeki üçgen prizmada |AC| = 3 cm olduğuna göre prizmanın ayrıt uzunlukları toplamı kaç santimetredir?

ACB dik üçgeninde |AC| = 3 cm, |CB| = 4 cm olduğundan Pisagor bağıntısı kullanılarak

|AB|² = |AC|² + |CB|²

|AB|² = 9 + 16 = 25

|AB| = 5 cm bulunur.

Prizmanın ayrıt uzunlukları toplamı :

2 . (|AB| + |AB| + |BC|) + 4.|BE|

2.(3+4+5)+4.10=64 cm’dir.

 

Üçgen Prizma Çeşitleri :

Bir üçgen prizmanın taban ayrıtları a, b ve c; yüksekliği h olmak üzere ayrıt uzunlukları toplamı 2(a+b+c)+4h ile hesaplanır.

Düzgün Altıgen Prizma : Düzgün altıgen prizmanın,

8 yüzeyi vardır. Alt ve üst tabanları birbirine eş altıgen, yan yüzeyleri ise birbirine eş dikdörtgenlerdir.

18 ayrıtı 12 köşesi vardır. Yanal ayrıtlar prizmanın yükseklikleridir. Taban ayrıtlarının uzunlukları birbirine yanal ayrıtlarının uzunlukları birbirine eşittir.

8. Sınıf Matematik Standart Sapma Konu Anlatımı

Standart Sapma

Ahmet Bey’e babasından 10 bin TL miras kalmıştır. Ahmet Bey, bu parayı bono ya da altın alarak değerlendirmek istiyor.
Aşağıdaki grafikler altın ve bononun şubat ayının 2. Haftasındaki seyrini göstermektedir.

Bu grafiklere göre, sizce Ahmet Bey altına mı, Ulusal Endeske mi yatırım yapmalıdır?
Etkinlik
Hangi Bahçeyi Satmalı?
Mehmet Bey’in aynı büyüklükte iki portakal bahçesi vardır. Bunlardan birini satacaktır. Bu bahçelerden elde edilen portakal miktarları aşağıda verilmiştir.

1. Her iki bahçenin yılda ortalama kaç kg portakal verdiğini bulunuz.
2. Her iki veri grubunun medyanını bulunuz.
3. Her iki veri grubunun varsa tepe değerini bulunuz.
4. Nasıl bir sonuç elde ettiniz? Tartışınız.
5. Siz bu bahçelerden birini alacak olsanız, hangisini alırdınız? Neden?
6. Bu iki veri grubunu karşılaştırmak için merkezi eğilim ölçüleri yeterli mi?
Bilgi Notu : İki ya da daha çok veri grubunu karşılaştırmada, aritmetik ortalamanın yeterli olmadığı durumlarda standart sapma hesaplanır. Standart sapmanın küçük olması riskin az (dağılımın homojen), standart sapmanın büyük olması riskin çok (verilerin dağınık) olduğunun göstergesidir.
Bilgi Notu : Standart sapma hesaplanırken;

• Verilerin aritmetik ortalaması hesaplanır.
• Her bir veriden aritmetik ortalama çıkılarak bulunan sayının karesi alınır.
• Bulunan kareler toplanır.
• Toplam, veri sayısının bir eksiğine bölünür.
• Bölümün karekökü alınır.

Böylece veri grubunun standart sapması bulunmuş olur.
Örnek : Teog sınavına girecek olan Eda ve Elçim’in deneme sınavlarında yaptıkları net soru sayıları aşağıda verilmiştir.
Eda : 80, 45, 60, 75, 70, 10, 60, 90, 60, 50
Elçim : 65, 60, 60, 70, 50, 55, 60, 50, 55, 75
En son yapılacak deneme sınavında, hangisinin daha başarılı olacağını tahmin edin.

8. Sınıf Matematik Histogram Konu Anlatımı

Histogram

Çektiğimiz fotoğraf acaba ne kadar iyi? Bunun en hızlı cevabını histogram grafiğinden bulabiliriz. Histogram grafiği ışık dağılımını gösteren bir grafiktir.
Histogram ilk bakışta tam olarak kaçı gösterdiğinin bilincinde olmadığımız, ama zamanı yaklaşık söyleyebildiğimiz bir saat gibi, epeyce bilgi aktarır. Saat örneğine benzer bir şekilde histogramı okumada da beceri kazanmak, bir konunun fotoğrafında, seçilen ışıklama değerlerini ya da görüntünün kalitesini çabucak değerlendirebilme yeteneğini kazanmak anlamına gelir.

Histogram Oluştururken

Verileri gruplamak için uygun grup genişliği belirlenir.
Veri gruplarının sayısının 10 civarında olması uygundur.
Grafiklerde aralıklarda hiç veri olmaması nedeniyle yanlış yorumlara yol açmamak için “zikzak” kullanılmıştır.
Grafiklerde uygun ölçekler kullanılır.
Tabloya başlık yazılır.
Grafiklerin başlıkları yazılmalı ve eksenleri isimlendirilmelidir.

Histogramda Grup Genişliğini Farklı Yöntemlerle Bulma

Çeşitli kaynaklarda verilerin doğru yorumlanabilmesi için grup sayısının 10 civarında olması öneriliyor. Açıklık, 10, 11 vb istenilen grup sayısına bölünür. Bulunan sayıya en yakın büyük tek sayı grup genişliği olarak alınır.
“Açıklık/grup sayısı” işleminin sonucu örneğin “4” çıktığında en yakın tek sayılar “3” ve “5” tir. Bunlardan büyük olan “5” olduğu halde grup genişliği “5” olur.
Örneğin sonuç “3,5” olduğunda en yakın tek sayı “3” tür. O halde, en büyük değer “3” tür. Bu nedenle, grup genişliği “3” olarak alınır.
Aynı yöntemle elde edilen grup genişliği (açıklık/grup sayısı) en yakın tam sayıya yuvarlayarak da kullanılabilir. Sonuç “3,7” çıktığında en yakın tam say olan “4” grup genişliği olarak alınabilir.

Etkinlik
Fazla Sayıda Verilerle Grafik Oluşturuyorum.
Bir üniversitede “Haydi Kızlar Okula” projesine destek için yapılan ve 3 gün süren eğitim paneline konuşmacı olarak katılan kişilerin adları ve yaşları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

---

8. Sınıf Matematik Denklemler Konu Anlatımı

Denklemler

Saatteki hızı belli olan bir aracın iki şehir arasında kaç kilometre yol aldığı bilindiğinde yolculuğun kaç saat sürdüğü hesaplanabilir.

Aralarındaki ardışık fark bilinen sayıların toplamı verildiğinde en küçük veya en büyük sayıyı bulmak kolaydır.

a + 4 = 5 -> I. Dereceden bilinmeyenli denklem

2a – 3 = a + 4 -> I. Dereceden bir bilinmeyenli denklem

İki kardeşin yaşları toplamı ve farkı bilindiğinde yaşları bulunabilir. İki işçinin bir işi yapma süreleri verildiğinde bu işi birlikte ne kadar sürede yapılabilecekleri belirlenebilir.

Nicelikler arasında ilişkilerden yararlanarak bilinmeyen değerlere denklemler yoluyla ulaşılabilir.

X² – 2x – 3 = 0 -> II. dereceden bir bilinmeyenli denklem

X + 4y = 5 -> I. Dereceden iki bilinmeyenli denklem

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem : a, b ∈ R ve a≠0 olmak üzere ax+b = 0 biçimindeki denklemdir.

Denklemin Kökü : Denklemi sağlayan değerlerdir.

Denklemin Çözümü : Denklemin kökünü bulmak için yapılan işlemlerdir.

Çözüm (Doğruluk) Kümesi : Elemanları denklemin kökleri olan kümedir. Ç ile gösterilir.

Denklem Çözümlerinde Bilinmesi Gereken Özellikler

1. a, b, c ∈ R ve c ≠ 0 olmak üzere eşitliğin her iki tarafında aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitlik bozulmaz.

A + c = b + c

A – c = b – c

2. Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitlik bozulmaz.

A . c = b . c

A : c = b : c

3. Bir denklemde herhangi bir t erim, eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçilirken işaret değiştirir.

---

8. Sınıf Matematik Eğimi Tanıyalım Konu Anlatımı

Eğimi Tanıyalım

Düz bir yol ile yokuş bir yol arasında nasıl bir fark vardır? Zeminden belli bir yüksekliğe çıkmak için hangi yolu tercih edersiniz? Yokuşun az ya da çok olması harekette kolaylık sağlar mı?
Merdivenleri, çatıları, mimarlık ve mühendislikte kullanılan çizim masalarını düşünün. Tüm bu örnekler arasında nasıl bir benzerlik var?
Bu soruların yanıtları bizi eğim konusuyla tanıştırır.
Farklı eğimlere sahip merdivenlerle aynı yüksekliğe çıkılmak istendiğinde I nolu merdivenin daha kullanışlı olduğu görülür. I nolu merdivenin eğimi, II nolu merdivenin eğiminden küçüktür.

Eğim : Dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranıdır.

---

8. Sınıf Matematik Trigonometrik Oranlar Konu Anlatımı

Trigonometrik Oranlar

Bir ABC dik üçgeninde [AC]üzerinde alınan herhangi bir noktadan, [AB]’na dikmeler indirilerek oluşturulan her dik üçgende kenar uzunluklarının oranları  bağlıdır. Bu oranlar ABC dik üçgenindeki dar açıların trigonometrik oranlarıdır.

 

ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısından |AB| = 8 cm’dir. B ve C açılarının trigonometrik oranları aşağıdaki gibidir.

Örnek 1 :

8. Sınıf Matematik Dik Üçgenler Konu Anlatımı

Dik Üçgenler

Herhangi iki kenarı dik kesişen üçgen dik üçgendir. Dik üçgenin diklik merkezi 90° olduğu köşedir.
Bir dik üçgende 90° lik açıyı oluşturan kenarlar dik kenarlar, 90° nin karşısındaki kenar ise hipotenüstür.
Örnek 1 :

|BC| = 22 cm,
|BD| = |DC| = |AD|’ndan
|BD| = 22 : 2 = 11 cm ve
|AD| = 11 cm’dir.
Örnek 2 :

 

Muhteşem üçlüden,

|BD| = 9 cm’dir.

|BG| = 2k ve

|GD| = k olduğundan

|BD| = 3k = 9 cm

k = 3 cm

|BG| = 2k = 2 . 3 = 6 cm’dir.

Not : Bir dik üçgende 90° nin olduğu köşeden çizilen kenarortayın uzunluğu, indiği tabandaki eş parçaların uzunluklarına eşittir.

---